Как решать уравнения с корнями: решение уравнений с корнем

Как решать уравнения с корнями: решение уравнений с корнем

Автор

Котова София

Статья посвящена вопросу, как решать иррациональные уравнения. Здесь приведены самые простые примеры решения уравнения с корнями, рассказано, как избавиться от радикалов в уравнении.
Вам понадобится:
  • Ручка
  • Лист бумаги
  • Элементарные математические действия
#1

Каждое новое действие в математике мгновенно порождает обратное ему. Когда-то давно древние греки обнаружили, что квадратный кусок земли длиной и шириной в 2 метра будет иметь площадь 2*2 = 4 квадратных метра (в дальнейшем будет обозначаться m^2) . А теперь наоборот, если бы грек знал, что его участок земли квадратный и имеет площадь 4 m^2, как бы он узнал, какая длина и ширина его участка? Была введена операция, являющейся обратной к операции возведения в квадрат и стала называться извлечением квадратного корня. Люди стали понимать, что 2 в квадрате (2^2) равно 4. И наоборот, квадратный корень из 4 (далее будет обозначаться √(4) ) будет равен двойке. Модели усложнялись, записи, описывающие процессы с корнями, также усложнялись. Многократно возникал вопрос, как решить уравнение с корнем.

#2

Пусть некоторая величина x при умножении самой на себя один раз даёт 9. Это можно записать как x*x=9. Или же через степень: x^2=9. Чтобы найти х, следует извлечь корень из 9, что уже в какой-то степени является уравнением с радикалом: x=√(9) . Корень можно извлекать устно или использовать для этого калькулятор. Далее следует рассмотреть обратную задачу. Некая величина, при извлечении из неё квадратного корня, даёт значение 7. Если записать это в виде иррационального уравнения, получится: √(x) = 7. Для решения такой задачи необходимо обе части выражения возвести в квадрат. Учитывая, что √(x) *√(x) =x, получается x = 49. Корень сразу готов в чистом виде. Далее следует разобрать более сложные примеры уравнения с корнями.

#3

Пусть от некой величины отняли 5, затем выражение возвели в степень 1/2. В итоге было получено число 3. Теперь данное условие необходимо записать как уравнение: √(x-5) =3. Далее следует умножить каждую часть уравнения саму на себя: x-5 = 3. После возведения во вторую степень, выражение было избавлено от радикалов. Теперь стоит решить простейшее линейное уравнение, перенеся пятёрку в правую часть и поменяв её знак. x = 5+3. x = 8. К сожалению, не все жизненные процессы можно описать такими простыми уравнениями. Очень часто можно встретить выражения с несколькими радикалами, иногда степень корня может быть выше второй. Для таких тождеств не существует единого алгоритма решений. К каждому уравнению стоит искать особый подход. Приводится пример, в котором уравнение с корнем имеет третью степень.

#4

Корень кубический будет обозначаться 3√. Найти объём контейнера, имеющего форму куба со стороной 5 метров. Пусть объём равен x m^3. Тогда кубический корень из объёма будет равен стороне куба и равняться пяти метрам. Получено уравнение: 3√(x) =5. Для его решения необходимо возвести обе части в третью степень, x = 125. Ответ: 125 кубометров. Дальше пример уравнения с суммой корней. √(x) +√(x-1) =5. Сначала необходимо возвести обе части в квадрат. Для этого стоит вспомнить формулу сокращенного умножения для квадрата суммы: (a+b) ^2=a^2+2*ab+b^2. Применив к уравнению, получается: x + 2*√(x) *√(x-1) +x-1 = 25. Далее корни оставляются в левой части, а всё остальное переносится в правую: 2*√(x) *√(x-1) = 26 - 2x. Удобно поделить обе части выражения на 2: √((x) (x-1) ) = 13 - x. Получено более простое иррациональное уравнение.



#5

Далее снова следует возвести обе части в квадрат: x*(x-1) = 169 - 26x + x^2. Надо раскрыть скобки и привести подобные слагаемые: x^2 - x = 169 - 26x + x^2. Вторая степень пропадает, отсюда 25x = 169. x = 169/25 = 6,6. Выполнив проверку, подставив полученный корень в изначальное уравнение: √(6,6) +√(6,6-1) = 2,6 + √(5,6) = 2,6 + 2,4 = 5, можно получить удовлетворительный ответ. Также очень важно понимать, что выражение с корнем чётной степени не может быть отрицательным. Действительно, умножая любое число само на себя чётное число раз, невозможно получить значение меньше нуля. Поэтому такие уравнения, как √(x^2+7x-11) = -3 можно смело не решать, а писать что уравнение корней не имеет. Как упоминалось выше, решение уравнений с радикалами может иметь самые разнообразные формы.

#6

Простой пример уравнения, где необходимо проводить замену переменных. √(y) - 5*4√(y) +6 = 0, где 4√(y) - корень четвёртой степени из y. Предлагаемая замена выглядит следующим образом: x = 4√(y) . Проведя таковую, получится: x^2 - 5x + 6 = 0. Получено приведённое квадратное уравнение. Его дискриминант: 25 - 4*6 = 25 - 24 = 1. Первый корень x1 будет равен (5 + √1) /2 = 6/2 = 3. Второй корень x2 = (5 - √1) /2 = 4/2 = 2. Также можно найти корни, воспользовавшись следствием из теоремы Виета. Корни найдены, следует провести обратную замену. 4√(y) = 3, отсюда y1 = 1,6. Также 4√(y) = 2, извлекая корень 4 степени получается что y2 = 1,9. Значения вычислены на калькуляторе. Но их можно и не делать, оставив ответ в виде радикалов.

На заметку!
Комментарии ( 0 )
+ добавить комментарий
Нет результатов.

Добавление комментария

loading...

Самые популярные

Как перевести процент в число: перевод процентов в число

Статья посвящена вопросу как перевести число в проценты. В статье рассказывается о том, как быстро и легко рассчитать проценты, перевести проценты в дроби и наоборот. Рассматриваются конкретные примеры.

Наши эксперты ( 29 )

С самого моего детства я был «неформалом», я прошел весь возможный, наверное, путь ребенка из неполноценной семьи, я был, по очереди: панком, толкинистом, анимешником, рейвером и готом, однако успевал и учиться: получил образование журналиста. Теперь

Работаю бизнес-аналитиком в ИТ компании. Трудно выцепить какие-то хобби, в принципе легок на подъем и за любой кипеш:) я гурман, вкусная еда сводит с ума, о путешествиях и проведенном вечере могу судить по кухне:) третий год учу немецкий язык, но рез

PR-менеджер тире журналист. Родом из малюсенького Сибирского поселка. Потом пять лет в Кемерово, потом полгода в Новосибирске. Теперь уже полтора в Москве. Пока отсюда особо не тянет никуда. Только на время - куда угодно)

Я киноман, фотоманьяк, жить не могу без путешествий и музыки. Наверно, это самое главное. Работаю в отделе международного сотрудничества одного НИИ, но хочу поменять сферу дейтельности. Меня манит туризм и все что с ним связано.

Просто люблю готовить и все тут, а особенно эксперементировать со старыми рецептами, добавляя в них какие-нибудь новые ингредиенты. Так приятно когда скажут: "Как вкусно!" на твою стряпню. Борщ я варю так, что иная хозяйка позавидует! И буженину дела

tw fb vk